No post anterior sobre motores moleculares, comentei um aparente paradoxo estatístico com aplicações fascinantes na biofísica. Esse tipo de fenômeno, contra-intuitivo e profundamente aplicado, não é tão raro quanto se imagina. Se o paradoxo de Parrondo é meu favorito, dedico o post de hoje a meu segundo paradoxo aparente favorito, que começa em uma manhã repleta de problemas.

Você acorda sentindo dores nas costas, que aumentam em ondas, até se tornarem as piores que você já experimentou se não deu a luz a uma criança ou teve uma parada cardíaca. Você é levado às pressas ao hospital, onde o médico prontamente diagnostica um caso clássico de pedra do rim, e você se arrepende de todo aquele sal grosso que adora na picanha. Felizmente há cura, e o médico logo iniciará o tratamento, mas, antes, precisa de seu consentimento para saber qual procedimento tomará. Ele apresenta as opções, enquanto você agoniza de dor.

Há dois tratamentos possíveis, o A e o B. Um estudo foi realizado para testar a eficácia dos tratamentos e determinar qual é o melhor e você, como bom amante das exatas, pede para ver os dados dos estudos. Ele é dividido em casos de pedras grandes e pedras pequenas, sendo o número total de casos o mesmo testado no tratamento A e B, para que não haja tendências.

No caso das pedras grandes, o tratamento A é mais eficaz que o B. Ele curou 190 dos 260 testados (73%) enquanto o B curou apenas 50 dos 80 casos testados (62,5%). Sendo 73%>62,5%, o médico recomenda, caso você tenha uma pedra grande, aceitar o tratamento A.

No caso das pedras pequenas, o tratamento A também é mais eficaz que o B. Ele curou 80 dos 90 casos testados (88,8%) enquanto o B curou apenas 230 dos 270 testados (81,2%). Como 88,8%>81,2%, o médico recomenda, caso você tenha uma pedra pequena, aceitar o tratamento A. Ainda, ele pergunta qual tratamento você escolhe.

A questão parece estúpida, pois o tratamento A é mais eficaz que o B em todos os casos. No entanto, você, em um lampejo de lucidez em meio à dor, nota algo. Em ambos os tratamentos, 350 casos foram testados. O A curou (190+80=) 270 casos de seus 350, enquanto o B curou… (50+230=) 280. Sem sombra de dúvida, o médico deveria recomendar o mais eficaz dos tratamentos, que seria, sem hesitação, o tratamento B.

Consternado, você pode pensar que o tratamento B é melhor caso você não saiba seu tipo de pedra, e o A caso saiba; mas rapidamente percebe que esse raciocínio é profundamente desonesto. Você pode apenas ter uma pedra grande ou pequena e, na sua lógica, se souber que tem a grande, tomará o A; se souber que tem a pequena, também tomará o A. Seu conhecimento da pedra em nada influenciará sua decisão, e você ainda sabe que o B curou mais que o A nos dois casos juntos, o problema persiste.

Eis o famoso paradoxo de Simpson, uma armadilha clássica na teoria de probabilidades que atinge até os mais preparados. Temos uma tendência instintiva a achar que medidas que beneficiam todos os grupos envolvidos serão benéficas ao coletivo, isso não é necessariamente verdade. Esse paradoxo aparece de diversas formas nas análises estatísticas, como, por exemplo, a comparação entre Chicago e Illinois nas matérias de matemática, com uma análise mais profunda nos grupos étnicos e sociais. Chicago foi melhor que Illinois em todos os grupos étnicos analisados (brancos, negros, hispânicos), mas ao final Chicago ficou muito aquém de Illinois nos resultados. Isso aconteceu apenas porque a distribuição racial das regiões diferia bastante, criando esse aparente paradoxo.

A razão desse paradoxo, esse aparente contrassenso, é a diferença no tamanho das amostras. No caso da pedra no rim, podemos ver que pacientes com pedras pequenas tendem a sistematicamente receber o tratamento B, enquanto pacientes de pedras grandes tendem a receber o tratamento A. Mas, mais importante que a diferença no tamanho das amostras, temos que o fator “pedra grande” ou “pedra pequena” influencia muito mais a taxa de cura que o tratamento usado. O paradoxo de Simpson ocorrendo é um excelente indício de que há uma variável escondida, algum fator determinante ao dividir o estudo em grupos e que, somados os grupos, desaparece.

Não podemos dizer que o estudo apresentado a você no hospital possui “estatística que não presta”, mas devemos tomar cuidado na análise. O paradoxo de Simpson é uma das melhores maneiras de enganar alguém com estatísticas, então não se deixe levar por estatísticos malandros; o todo é mais que a soma das partes, frações às vezes enganam e, escolhendo o tratamento A ou B, sempre beba bastante água.

Mas, já que apresentei a situação, deixo a pergunta: e você? Qual tratamento escolheria?