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A hipocicloide do futuro

Rookie

Essa semana, assisti ao filme Total Recall, que, pelos motivos mais misteriosos, resolveu ser traduzido em português para O Vingador do Futuro (ainda, poderia ser pior, eu esperava algo como Rebobinado). Esse post contém um leve spoiler, nada que não seja visto nos primeiros dez minutos de filme: ele se passa em um futuro distante onde a humanidade usa, como meio de transporte, uma forma de trem que atravessa o centro da Terra. Fiquei encantado com o meio de transporte, porque ele inspira diversas questões bem interessantes, que vamos tratar aqui.

A primeira é o que considerei um pecado no filme: a gravidade é considerada binária, ou seja, ou é ativada, ou desativada. A ideia é legal, tentar lembrar o espectador de que no centro do planeta a gravidade é zero, mas ele esquece de lembrar um detalhe: ela não se torna completamente zero no núcleo e volta a ser 9,8m/s² logo em seguida, ela decresce linearmente (considerando a Terra de densidade uniforme) até atingir o zero e depois volta a crescer conforme nos afastamos do centro. Isso resultaria em personagens ficando mais e mais leves até não sentirem a gravidade e, então, começarem a ser atraídos pelo teto ao invés de pelo chão.

Vou explicar melhor. Imagine nosso herói cavando um buraco na Terra. Ele cava diversos quilômetros e atinge um terço do caminho, ficando embaixo da superfície como na figura:

A gravidade, para ele, será equivalente a estar pisando em um planeta cujo raio é o que falta para ele chegar ao centro da Terra, ou seja, um planeta bem menor. Em outras palavras, se ele estiver a essa profundidade, a gravidade que sentirá será como estar pisando em um planeta menor, desenhado em vermelho:

Isso parece estranho, pois simplesmente ignorar toda a massa que não está no vermelho parece desonesto, ela ainda exerce força gravitacional sobre nosso herói. Mas porque as equações da gravitação são tão lindas, um fenômeno muito interessante acontece. Certamente há muita coisa além do vermelho puxando nosso herói, mas o que está acima de sua cabeça o puxa para cima, enquanto o que está do outro lado do planeta vermelho o puxa para o outro lado, de tal forma que eles se cancelam exatamente e a única massa que efetivamente puxa nosso herói é a que está no planeta vermelho. Se você achar isso estranho porque parece haver muito mais massa o puxando para a direção de seus pés (e há, de fato), deve se lembrar que essa massa também está mais distante e isso conta muito na gravitação. Confie em mim ou faça a conta, o que não está no vermelho até puxa, mas nesse cabo de guerra todas as forças se anulam mutuamente.

Assim, a gravidade tende a diminuir de forma gradual até o centro, como se o planeta ficasse cada vez menor. No filme, aproximando-se do núcleo, a gravidade torna-se zero e depois volta a ser o que conhecemos, há vários problemas com isso.

Os que conhecem o princípio da equivalência podem dizer: “Ah, Ricardo, a máquina pode estar acelerando no sentido certo para ajudar aquela gravidade fraca a se tornar forte”, e eu até concordo que esse pode ser o caso para quando o trem está se afastando do centro: uma aceleração no mesmo sentido do movimento poderia compensar a falta de planeta; mas na descida não há desculpa. É realmente crível que uma nave dessas aceleraria contra o sentido de seu trajeto apenas para manter seus tripulantes, que são fixos às cadeiras por mais travas que brinquedos da Disney, em gravidade 9,8m/s²? Não dá para engolir, o filme realmente acha que a gravidade é sempre a mesma até o núcleo, onde, do nada, se torna zero.

Mas não foi apenas isso que me deixou intrigado. As regiões conectadas pelo trem parecem ser Inglaterra e China (Wikipédia diz Austrália), se eu entendi o filme direito, mas nenhuma dessas hipóteses explica a razão do trem ter que passar pelo núcleo da Terra onde há gravidade zero. Todo bom engenheiro podendo cavar um túnel pelo interior da Terra iria se preocupar em cavar o melhor possível, e a pergunta natural é qual o formato do melhor túnel possível.

Vamos primeiro definir qual é o melhor túnel como aquele que te leva mais rápido de um lado para outro. Como dinheiro e recursos não parecem ser problemas para esse povo, queremos minimizar o tempo de voo, ou de queda. Essa é uma pergunta difícil e é um exercícios fascinante aos que gostam de mecânica analítica, um dos melhores do Goldstein, cuja solução pode ser encontrada aqui. A melhor curva que liga dos pontos passando pelo interior da Terra, aquela capaz de transportá-los no menor tempo possível, é uma hipocicloide.

Essa curva pode ser desenhada se você conseguir traçar a trajetória de um ponto em um cilindro menor que rola dentro de um maior. Para ligar três pontos sobre a superfície terrestre que estão na mesma longitude e são igualmente distantes, a melhor curva é a desde gif da Wikipédia:

E como vocês podem ver, essa curva passará pelo centro apenas se os pontos forem antipodais, ou seja, se o trem tiver de conectar um lugar ao outro lado do mundo, seu ponto diametralmente oposto na Terra. Não preciso nem de um site para saber que Inglaterra e Austrália não são opostos; o oposto da Austrália é o norte do Atlântico, sendo o da Inglaterra o Pacífico! Em honra ao filme, a escolha não é tão ruim, mas Sidney ainda está a 3.000Km do oposto de Londres no globo.

Assim, podemos nos divertir pensando: qual seria a profundidade máxima desse túnel, e quanto seria sua menor gravidade possível. Supondo as capitais ligadas Sidney e Londres, podemos usar a solução do problema acima e calcular que o túnel atinge uma profundidade de aproximadamente 5.400Km, faltando ainda bons 1.000Km para se atingir o centro da Terra. Precisamos apenas considerar a gravidade exercida pelo núcleo em nosso herói, mas aí eu vou chamar uma precisão importante, vamos abandonar a hipótese de que a Terra é homogênea e estudar a composição do núcleo terrestre para calcular essa gravidade.

Com raio de 1.000Km, estamos falando da parte mais interna do núcleo, que é sólida e composta essencialmente de ferro e níquel. Sua densidade não é bem determinada, mas confio no site desse professor que diz entre 12,6 e 13g/cm³. A massa de uma esfera desse tamanho (1.000Km) com essa densidade é de $5,5.10^{22}$Kg. A massa da Terra total é $6.10^{24}$Kg (aproximadamente 100 vezes maior que a do núcleo) e o raio total é 6,4 vezes o raio do núcleo que calculamos. Fazendo uma conta rápida, percebemos que a menor gravidade atingida por nosso herói é de 40% a gravidade total da Terra. O valor que esperávamos era de 17%, se a gravidade decrescesse linearmente, mas devemos levar em conta o fato do núcleo ser muito mais denso que o resto da Terra. Assim, um túnel que liga Londres a Sidney, se construído pelo melhor caminho possível (o que conduz os passageiros no melhor tempo), atinge uma gravidade mínima de 40%, que é entre duas a três vezes a gravidade da Lua.

Curiosamente, o sul da América do Sul e a Ásia do leste são as únicas massas continentais urbanas antípodas, sendo a única explicação para o filme a de retratar uma metrópole opressora e cruel que não pode ser outra além de Porto Alegre, Buenos Aires, Santiago ou Montevideo.

Esses três parágrafos anteriores são exagero de minha parte. O filme queria gravidade zero pela trama, as belas cenas de ação, eu entendo. Não sou chato em filmes, juro. Quando me sento na cadeira do cinema, o Super-Homem pode voar e eu não ligo, em Lost, a ilha podia até flutuar, desaparecer, rodar que eu não me espantaria; mas se um filme tenta passar a imagem de cientificamente correto, tem que cumprir o que promete. Se explosão barulhenta no espaço é crime na ficção científica, gravidade binária, por mais relevante que tenha sido para a trama, fica bem difícil de engolir.

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Os limites da razão

Rookie

A natureza dificilmente gosta de ajudar o cientista. No ensino médio, aprendemos física em um mundo bem idealizado, sem atrito nas superfícies, sem resistência do ar e sem muito compromisso com a realidade. Todo professor de física ouve uma miríade de críticas a esse raciocínio, como se estivesse ensinando uma mentira, como se a realidade estivesse rindo da cara daqueles bloquinhos e polias, e muitas vezes está.

Não culpo o professor, este, se quisesse, poderia responder como Jack Nicholson a essa pergunta. Se um aluno reclama da incoerência do modelo com a realidade, que tente a realidade, vai voltar correndo a suas polias e bloquinhos. Porque a realidade é um monstro de complexidade e a física é feita de modelos: teorias que são tão boas quanto se propõem a ser. Ora, um cálculo de queda de objeto desprezando a resistência do ar funciona muito bem para quedas curtas, ou para objetos lançados na Lua, mas jamais se propôs a servir para lançar mísseis ou explicar o movimento de um paraquedista. Para esses fenômenos, você precisa de um modelo mais refinado, mais preciso; mas algo como um modelo exato não existe.

Como disse Weisskopf, modelos são como horários de trens na Áustria. Trens austríacos estão sempre atrasados. Um turista prussiano pergunta ao condutor austríaco por que eles se dão ao trabalho de imprimir essas tabelas, se os trens atrasam sempre. Ao que o condutor responde: “Se não as imprimíssemos, como saberíamos o quão atrasados eles estão?”.

E se você, com um ar levemente superior e arrogância não-desprezível, decidir criticar a ciência por “não saber nada exatamente”, eu pergunto: o que é saber algo exatamente? Eu posso descrever o movimento de minha cadeira, está parada, mas isso é apenas um modelo: há fótons bombardeando minha cadeira, interagindo com seus átomos, que por sua vez pulam, vibram, alguns até se soltam e voltam à cadeira, absorvem fótons, alguns até interagem com neutrinos de vez em quando, o wi-fi de minha casa atravessa a cadeira e interage com suas partículas, que também são bombardeadas pelas partículas de oxigênio e nitrogênio no ar. Essa cadeira, no nível atômico, é uma zona de guerra; descrever seu movimento, nesses termos, é um sonho tão distante quanto descrever o movimento de cada gota d’água em um tsunami. Se isso é saber algo, seriam necessários deuses para ensinar física ao ensino médio.

Nossos problemas não param por aí. Não somente realidade e modelos são coisas diferentes, muitas vezes nem nossos modelos ajudam. Ainda que tenhamos hipóteses bem otimistas, como a ausência da resistência do ar e do atrito, é terrivelmente fácil encontrar um sistema cuja solução é impossível aos mortais. E por impossível eu não digo “difícil” ou “eu não consigo porque sou moleque”, eu digo completamente impossível mesmo. Como exemplo, invoco o pêndulo duplo: uma bolinha presa por um fio em outra bolinha, presa por um fio em um ponto fixo. Algo com essa cara:

O problema desse sistema é: nem chorando você consegue prever o movimento dessas bolinhas. O sistema nada tem de aleatório, não há resistência do ar ou atrito, mas a relação entre as duas bolinhas, essa influência mútua causada pelo fio que as liga, torna o problema matematicamente tão complicado que ele toca as raias do impossível: não há homem sobre a terra capaz de escrever a coordenada $y$ de uma bolinha em função da $x$ para qualquer valor de tempo $t$.

O problema não é a física, você até conhece as equações desse problema. Lembra-se das leis de Newton?, pois bem, você consegue escrever o equivalente às leis de movimento das bolinhas. Essas leis, que são equações, se resolvidas, forneceriam a trajetória exata das bolinhas nesse modelo. O problema é: as equações não podem ser resolvidas exatamente, porque elas são equações muito difíceis.

Isso não nos impede, no entanto, de obter o movimento desse pêndulo estranho, basta explorar nosso amigo computador para isso. As equações são muito difíceis, impossíveis aos mortais no papel e caneta, mas o computador pode, na força bruta, calcular aos poucos cada instante dessa trajetória. Em cada momento, ele consegue estimar com bastante precisão onde o pêndulo estará no instante seguinte. Se esses instantes são bem próximos, a aproximação do computador é boa o suficiente para que o movimento seja descrito. Sentei essa tarde e escrevi um código para simular esse pêndulo, adaptando de outros que vi por aí, o resultado é algo perto disso:

E você também pode dizer que isso não é exato, essa nem é exatamente a resposta do modelo, e isso é verdade, em partes. Essas contas do computador são tão precisas quanto queremos que elas sejam, ora, basta você dizer o quão precisa você quer a conta que ele faz, vai apenas demorar mais ou menos tempo. Dessa maneira, esse pêndulo se movendo acima é preciso o suficiente para o que eu queria: um gif divertido que desse uma boa ideia do movimento do pêndulo.

O pêndulo duplo é um caso interessante por diversos motivos. Ele apresenta um fenômeno conhecido como caos, ou, na cultura popular, o efeito borboleta. Sistemas caóticos possuem definição matemática precisa e, como uma de suas características mais marcantes, possuem uma grande dependência de suas condições iniciais. No caso desse pêndulo duplo, dizemos que o lugar onde o pêndulo começa (no exemplo acima, a primeira bolinha forma um ângulo de 120º com a vertical, enquanto a segunda bolinha forma um ângulo de 10º com a vertical) influencia muito mais a trajetória do que você imagina.

Compare com um pêndulo simples, indo de um lado a outro. Sua trajetória são será tão diferente se você lançar o pêndulo de um ângulo de 10° ou se lançar de 9,9999°, você, aliás, terá problemas para dizer se são diferentes. No pêndulo duplo, a história é outra. Para me divertir, repeti a animação com dois pêndulos ao mesmo tempo, um azul, como o anterior (120° na primeira e 10° na segunda), e um vermelho, com as configurações levemente alteradas (120° na primeira e 9,9999º na segunda). Veja o que acontece depois de um tempo suficientemente grande:

O efeito borboleta é uma possível interpretação dessa propriedade de sistemas caóticos. 10° e 9,9999° são muito próximos, mas em dez segundos os pêndulos passam a ser completamente diferentes, é impossível dizer que eles já estiveram juntos. Analogamente, as equações da mecânica dos fluidos são também muito difíceis de resolver, e apresentam comportamento caótico. Nesse pequeno gif, você percebe a influência de uma variação de 0,0001° na posição inicial de uma das bolinhas. Para a meteorologia, podemos perguntar: pode o bater de asas de uma borboleta no Brasil causar um tornado no Texas?

A ciência não pretende apresentar modelos completos que descrevem a realidade em todas as camadas e fronteiras, isso não existe. Ela pretende, contudo, descrever o que pode, na precisão que consegue, melhorando sempre, compreendendo mais e criando modelos mais precisos, tendo como única juíza a realidade. A ciência busca chegar à verdade e, nessa jornada, nossos trens chegam atrasados, é verdade; mas garanto, não há outros disponíveis.

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