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Reality show

Rookie

Todo mês de janeiro, vejo não apenas minhas mídias sociais, mas também portais sérios de notícias e meios de comunicação serem invadidos por notícias de um reality show. O Big Brother costuma ocupar por três meses aquele espaço que os jornalistas não conseguiram preencher, dissertando cada detalhe do que pessoas extremamente convencionais fizeram ontem e hoje, levando pessoas em um sofá a se fascinarem vendo outras pessoas sentadas em um sofá.

São um fenômeno moderno, pois seria muito difícil antes de 1950 se obter tais equipamentos de vigilância sobre pessoas. E, confesso, não fazem jus ao nome, não é possível se dizer um retrato da realidade se as pessoas, sabendo das câmeras e microfones, agem de acordo, quebrando a magia da espontaneidade. Por isso, cada vez que leio sobre BBB, ou sobre qualquer outro desses, penso no primeiro, mais honesto e mais interessante de todos os reality shows: Farm Hall. Também conhecido pelo codenome “Operação Epsilon”, Farm Hall faz Boninho parecer uma criança amadora. Para entender esse reality, precisamos entender um pouco de física nuclear.

Ao final da segunda guerra mundial, os aliados e o eixo disputavam uma corrida científica acirrada em busca da arma suprema que definiria o combate: a bomba nuclear. Qualquer lado que a obtivesse primeiro, tendo condições de lançar, poderia mudar o curso da guerra, e da história mundial. O lado dos aliados é bem conhecido, em Los Álamos eles juntaram os maiores gênios da física nuclear e de partículas jamais reunidos, encabeçados pelo gênio italiano Enrico Fermi e aquele que se chamaria de destruidor de mundos, J. R. Oppenheimer. Eles conseguiriam pouco a pouco controlar as reações nucleares e canalizarem essa tecnologia na forma da arma suprema, infelizmente lançada no fatídico agosto de 1945 contra o Japão.

O eixo, contudo, tinha seus campeões: Otto Hahn, Max von Laue, Weizsacker,  entre outros, somando dez ao todo, liderados pelo gigante da física Werner Heisenberg. O projeto alemão da bomba atômica avançou, eles sabiam que a bomba era possível; ainda, antes que pudessem conceber a arma, os dez maiores físicos da Alemanha foram capturados pelos aliados na capitulação alemã.

Os aliados não sabiam, no entanto, o quanto esses homens sabiam da bomba atômica, e o quão perto os alemães estavam de produzir aquela arma. Para descobrir, entre julho de 45 e janeiro de 46, eles colocaram esses dez cientistas em isolamento completo em uma casa no interior da Inglaterra, com microfones escondidos espalhados em toda a casa. Começaria o primeiro Reality Show da história, e provavelmente o mais interessante.

A casa de Farm Hall.

As transcrições de Farm Hall são fascinantes. Após um mês de confinamento, os cientistas recebem notícias, através de um jornal, do bombardeamento de Hiroshima e Nagasaki. Otto Hahn, um dos descobridores da fissão do urânio, contempla suicídio; Max von Laue, um grande opositor do regime nazista, comemora não terem conseguido terminar o projeto. Mas a grande pergunta, e a que torturava Heisenberg, era a mais simples: onde eles haviam falhado? Como os americanos haviam conseguido?

Frente à notícia do lançamento da bomba, Heisenberg reage furioso, alegando ser falsa. Uma semana depois, organiza uma espécie de conferência improvisada, usa o jornal como referência e começa um colóquio para definir onde estava o erro alemão. Essa discussão não é apenas interessante do ponto de vista histórico, ela é uma aula de física nuclear, literalmente, eu tive minha aula de fissão nuclear usando trechos das transcrições de Farm Hall. Ao invés de explicar como funciona a fissão, deixo Heisenberg o fazer, citando a abertura de sua conferência a seus colegas prisioneiros:

HEISENBERG: Vou começar recapitulando, mais uma vez, os principais dados envolvendo o U235 (urânio com massa 235, altamente radioativo). Vou dizer rapidamente o que acontece, talvez, nessa bomba. Um nêutron presente no U235 encontra, bem rápido, em seu percurso, um outro núcleo de U235. Duas coisas podem acontecer: ou ele é difundido elasticamente (ricocheteado, sem perder energia), essa difusão pode ser elástica ou inelástica, ou ele causará a fissão (quebra) do núcleo. Se é difundido, ele parte com uma velocidade muito similar à que chegou, e isso não altera o fato de que ele provavelmente provocará a fissão de um outro núcleo em seguida. A probabilidade de perder nêutrons é então nula. O processo ocorre naturalmente até o nêutron encontrar um núcleo de U235 e quebrá-lo. Nessa fissão, outros nêutrons são produzidos, e uma reação em cadeia se inicia. Se tivéssemos uma quantidade infinita de U235, ela jamais pararia, pois cada fissão produz de 2 a 3 nêutrons. Esses nêutrons continuariam o processo, e o número de nêutrons aumentaria exponencialmente. No entanto, a produção de nêutrons está em competição com o processo de fuga de nêutrons da massa. De fato, como a massa que possuímos é finita, os nêutrons que são produzidos na superfície e cuja velocidade inicial aponta para fora irão escapar e não participarão da fissão. A questão que se coloca é se essa perda de nêutrons consegue superar a produção, e qual é a massa mínima para que a reação ocorra e cause uma explosão.

A figura a seguir fica por minha conta:

Heisenberg acaba descobrindo seu erro, e, noto, seu orgulho deve ter ficado abalado, pois não foi nada muito sofisticado. Cometendo um erro que aflige todos os físicos, usou sua intuição no sentido errado e, simplificando um termo para facilitar suas contas, desprezou um valor importante demais e acabou calculando que a massa de urânio necessária para a bomba seria milhares de vezes maior do que o real valor. Isso diminuiu muito o interesse alemão em tentar desenvolver a bomba, pois tal quantidade de urânio enriquecido seria impraticável, muito cara e levaria muito tempo para ser produzida.

O erro de Heisenberg foi achar que valores médios podem substituir valores reais. Ele conseguiu medir o percurso médio de um nêutron no urânio, e sabia a velocidade média do nêutron. Com isso, ele tinha um tempo médio que o nêutron levava para atingir um urânio, e com isso conseguia calcular quantos nêutrons seriam produzidos por segundo. Eis o erro, essa multiplicação é uma simplificação grosseira demais, dizimada pelo fator exponencial da produção de nêutrons. Usar os valores médios despreza o fato de que os primeiros nêutrons produzidos afetarão outros átomos de urânio, que afetarão outro, em uma reação em cadeia que privilegia claramente os nêutrons produzidos no início. Um processo exponencial não pode ser analisado com valores médios, você precisa tomar um grande cuidado, escrever a equação diferencial da difusão e incluir um termo de geração de nêutrons adequado. Heisenberg calculou esse valor usando apenas movimento Browniano e valores médios, superestimando o valor da massa crítica da bomba e matando boa parte do incentivo governamental para a produção da arma.

Outros fatores impediram o projeto alemão. Heisenberg tivesse talvez percebido seu erro se possuísse medidas precisas de grandezas nucleares, mas isso foi em grande parte impossibilitado pela guerra da água. Para medir grandezas nucleares em fissão, você precisa de alguém para absorver os nêutrons quando quiser parar a reação e não arruinar sua experiência. Os alemães usavam um material conhecido como água pesada, que é água convencional com mais nêutrons do que devia. Esse material era produzido como resultado da fabricação de fertilizante, mas ele exige uma quantidade colossal de energia e o único país com essa disponibilidade energética era a Noruega, com suas grandes hidroelétricas. Em operações especiais de espionagem e sabotagem dignas de filme, os aliados conseguiram desativar a usina hidroelétrica norueguesa na Operação Gunnerside, e forças de resistência norueguesas afundaram o barco que transportaria a água pesada restante à Alemanha.

A história da física nuclear é fascinante, com momentos de aventura e tragédia, contendo Farm Hall como um dos mais interessantes exemplos do perigo que representa um cientista que sabe demais. Nunca se confirmou o real interesse de Heisenberg na construção da bomba, mas suspeito que nem era esse o motivo de tanta fúria ao saber que outros tinham construído. Acredito que ele queria menos que os alemães tivessem a bomba do que saber a razão de seu erro, saber onde os americanos haviam acertado, saber qual de seus cálculos estaria errado.

Farm Hall também possui trechos emocionantes, como quando a casa recebe a visita de Sir Charles Darwin, físico, neto do biólogo, e Otto Hahn pergunta se ele tem notícias de sua família. Por fim, coloco um último trecho, com uma parte do dilema moral dos cientistas alemães, tirado daqui e traduzido livremente:

HEISENBERG: O fato é que toda a estrutura do relacionamento entre os cientistas e o estado alemão era tal que não estávamos 100% interessados em fazer, e, do lado deles, o estado confiava tão pouco em nós que ainda que quiséssemos, não teria sido fácil conseguir.

DIEBNER: Porque os oficiais estavam interessados em resultados imediatos. Eles não queriam trabalhar com políticas a longo prazo, como os americanos.

WEIZSAECKER: Ainda que tivéssemos tudo o que quiséssemos, não era nada certo que teríamos chegado tão longe quanto os americanos e ingleses estão agora. Não há dúvidas de que estávamos tão próximos quanto eles, mas é fato que estávamos convencidos que a coisa não ficaria completa durante a guerra.

HEISENBERG: Bom, isso não é completamente verdade. Eu diria que estava completamente convencido da possibilidade de fazer um motor a urânio, mas nunca pensei em fazer uma bomba, e do fundo do coração eu estou aliviado que era um motor e não uma bomba. Preciso admitir isso.

…

WEIZSAECKER: Não acho que devamos criar desculpas agora por não termos conseguido, mas temos que admitir que não queríamos conseguir.

WIRTZ: Acho característico que os alemães fizeram a descoberta e não usaram, enquanto os americanos a usaram. E preciso dizer que não achei que eles ousariam usar.

Eis um reality show cujo pay per view eu compraria com gosto. No entanto, meu Facebook, os portais de notícia e os assuntos de meus amigos foram invadidos por outro, não por Heisenberg ou Weizsaecker, mas por Anamaras e Dhominis; não por dramas reais de pessoas geniais, mas por intrigas e personagens tão pífios que podemos até desejar, no auge de frustração e raiva, uma solução nuclear para tudo isso.

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As pontes de Konigsberg

Rookie

Quando eu era garoto, conheci um problema de lógica e desenho que deve ser famoso. Apresentaram-me a seguinte figura:

Sendo o objetivo do problema desenhar essa figura sem tirar o lápis do papel e sem repetir os caminhos. Após algumas tentativas, cheguei a um caminho correto, desenhava feliz a casa com o X segundo as regras. Foi então que me foi apresentado uma variante do problema, “mais difícil” segundo aquele que me passou. Fui desafiado a desenhar essa outra figura:

Passei anos tentando, vez ou outra, resolver esse problema. Deixei de dar atenção a ele depois dos treze anos e, aos dezoito, descobri que todas aquelas tentativas fúteis de desenhar essa estranha flor foram justificadas: o problema não tem solução, é impossível encontrar um caminho que desenhe essa figura sem tirar o lápis do papel e sem repetir caminhos.

Mal sabia eu que esse mesmo problema, ou quase, havia sido resolvido por Leonhard Euler na cidade de Konigsberg, Prússia, em 1735. Euler garante com tranquilidade um lugar no top 3 da matemática, ostentando ainda hoje o título de matemático com maior número de publicações, tendo passado os dez últimos anos de sua vida cego (e publicando matemática, claro) e, segundo dizem, foi um excelente pai de seus cinco filhos. Ao passar pela cidade de Konigsberg na Prússia, Euler foi desafiado com um problema típico da cidade. Ela possuía duas ilhas no rio ligadas entre si e com a terra por sete pontes, como mostra a figura descaradamente roubada da Wikipédia:

E o desafio era atravessar as sete pontes sem repetir nenhuma. Você pode se divertir tentando, como os habitantes da cidade faziam, mas Euler decidiu pensar no problema de maneira mais profunda. A primeira coisa que fez foi se livrar do que estava sobrando: prédios, ilhas, estradas, apenas as pontes importavam:

Numerei as massas de terra para que a identificação com o desenho seguinte fique mais clara. Não contente, Euler percebeu que podia simplificar ainda mais o diagrama escrevendo-o da seguinte forma:

A vantagem desse formato, minimalista ao extremo, é nos permitir focarmos apenas no que realmente importa. E esse foi o raciocínio de Euler: quero atravessar todas essas linhas sem jamais repetir nenhuma. Rapidamente, ele notou que, para não repetir linhas, todo ponto a que ele chegasse deveria permitir uma saída, exceto, claro, pelos pontos inicial e final. Ou seja, para todo o ponto, exceto os de começo e fim, cada entrada deve possuir uma saída correspondente: ele deve possuir um número par de conexões. Se ele possui um número ímpar, digamos, 3; eu entrarei nele, sairei dele e, na próxima entrada, não terei como sair, eu travei e, ao menos que ele seja meu ponto final, perdi o jogo.

Olhe agora o diagrama das pontes de Konigsberg. Todos os pontos possuem um número ímpar de linhas, quando o número máximo é dois (entrada e saída). Assim, Euler concluiu de uma vez por todas que não é possível atravessar as sete pontes de Konigsberg sem jamais repetir nenhuma.

E Euler também responde a meu problema da flor estranha. Enquanto a casa com o X possui todos os vértices com um número par de linhas exceto pelos dois na “base” da casa, eu consigo criar o caminho e desenhá-la sem repetir linhas. E mais: sei sempre que os pontos de começo e fim serão os da base, é impossível fazer o caminho sem começar por eles, são os únicos com um número ímpar de conexões. Quanto à flor, todos os vértices do quadrado central possuem cinco conexões, qualquer caminho leva ao fracasso e meu problema está resolvido.

Curiosamente, quando trabalhava na usina nuclear, um colega propôs-me esse problema da flor, alegando que seria interessante já que eu “gostava dessas coisas” e que ele não conseguia resolver. Vingando-me daquele que em minha infância apresentou-me o problema, disse triunfante ser impossível e, naquela mesma lousa, contei as linhas de cada vértice. Porque matemáticos não levam muito bem a ideia de “não conseguirem algo” e, não conseguindo, ao menos provam que ninguém no mundo consegue.

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A raiz do problema

Rookie

O teorema de Pitágoras é o centro da geometria de nossa oitava série, agora nono ano. Nele, aprendemos que há uma relação simples e até bonita entre os lados de um triângulo retângulo, aquele com um ângulo de 90°. O que não nos contam é a quantidade de problema que esse teorema já deu, e até as mortes que causou, na época de seu descobrimento. Os número irracionais já foram muito mais interessantes, quando havia gente que daria a vida, e mataria, para manter certas verdades ocultas na antiguidade clássica.

Pitágoras é uma figura historicamente bem misteriosa. Tudo o que se sabe sobre ele provém de séculos depois de sua morte, há mesmo quem duvide de sua existência, e todos os dados sobre ele são carregados de misticismo. Isso porque Pitágoras não era apenas um matemático, um professor, um sábio, ele foi além: em sua busca por conhecimentos e verdades nos números, enxergou um pouco mais do que devia e fundou um culto religioso envolvendo as verdades geométricas do universo.

Neste culto secreto, ciência e religião não possuíam diferença alguma e a busca pela verdade era também a busca pelo divino. O culto possuía regras de alimentação, comportamento, ser pitagórico era muito mais que pesquisar matemática, era um estilo de vida, e seu seguidores reuniam-se em uma mistura de escola com monastério no sul da atual Itália, no século V a.C.

Essa mistura não podia terminar muito bem. Diz-se na boca pequena, nesses boatos da história da matemática, que um infortunado descobriu que a raiz quadrada no número dois era um número irracional. Horrorizados com a notícia, os pitagóricos, e talvez até o próprio Pitágoras, mandaram matar este matemático para silenciar o que colocaria em cheque muito das verdades divinas descobertas pelo grupo. A razão do choque é difícil entender, mas vamos tentar, ela reside na ideia que os gregos tinham da natureza de um número.

Toda a matemática grega repousava na geometria, sua álgebra era fraca, a escrita era sempre feita em termos geométricos e os grandes trabalhos gregos versavam teoremas avançados sobre elipses, cônicas, parábolas, mas a ideia de equação está ausente em todos esses textos. Os números, como eles entendiam, eram sempre dados por proporções. Eles escolhiam um comprimento de linha, uma barra, para ser o 1. Mas isso não era “apenas” o número 1, a própria noção de número não existia muito, o 1 da contagem de ovelhas e o 1 da barra eram coisas diferentes para os pitagóricos, e gregos em geral. Essa barra de tamanho 1 representava a unidade, o fundamental, o que gera todas as coisas. E a definição de número dos gregos estava atrelada a isso. Dizer o número 3, a eles, era a barra cujo comprimento era três vezes o da barra unidade. Na ideia deles, dizer 3 era dizer:

Os demais números eram compostos de maneira parecida. A fração 21/16, por exemplo, não era ensinada com pedaços de bolo como em nossas quarta-séries, mas com pedaços da unidade. Você quebra a unidade em 16 pedaços, junta 21 deles, cola e tem o número que deseja:

E assim eles faziam a matemática. Toda barra encontrada era “numerizada” quando se quebrava a unidade em partes pequenas o suficiente para, com um bom número delas, colar e formar a barra nova. E todo número novo era sempre pensado em forma de barra ou de pedaços de barra, toda a matemática eram intersecções, retas, circunferências e pontos. Até que, um dia, um homem, dizem Hipaso de Metaponto, descobriu uma barra que não era número. E, pior, ela estava o tempo todo bem embaixo do nariz de todos. Essa barra é a raiz quadrada de dois, uma barra tão facilmente obtida quanto alguém pode desenhar um quadrado:

Essa barra, a diagonal do quadrado, não pode ser composta com pequenos pedaços da lateral do quadrado, por menores que esses pedaços sejam. Isso não é nada evidente, você pode até tentar se enganar com a fração 141/100, mas ela ainda não é perfeitamente a diagonal do quadrado e nenhuma outra fração jamais será. Se antes eles apenas achavam que era uma barra cuja fração era complicada demais, isso é um abismo em relação à ideia de “não há fração para essa barra”. Em outras palavras, isso violava a própria noção de número dos gregos, algo alienígena à matemática deles, que estava profundamente atrelada ao religioso, à noção de proveniência da unidade, da formação do todo pelo pedaço primordial, ora, nada mais natural que silenciar o herege que descobriu esse pedaço de barra infiel.

A maneira como ele descobriu isso foi geométrica, mas posso dar um argumento algébrico legal de como nenhuma fração ao quadrado dá dois. Suponha que eu seja malandro, suponha que eu tenha encontrado dois números $p$ e $q$ tais que $\left(\frac{p}{q}\right)^2=2$. Como eu estou estudando a fração, é de bom tom que $p$ e $q$ não tenham divisores em comum pois, se tiverem, basta dividir a fração em cima e embaixo pelo número para ter uma fração equivalente (ou seja, 10/15 é o mesmo que 2/3, basta eu dividir os dois por 5).

Mas se $ \left(\frac{p}{q}\right)^2=2$, então $ \frac{p^2}{q^2} = 2$ e $ p^2 = 2q^2$. Até aqui sem surpresas, apenas apliquei o quadrado nos dois elementos e passei o de baixo multiplicando. No entanto, se $ p^2$ é duas vezes alguém, ele tem que ser par. Mas se $ p^2$ é par, então $ p$ é par, pois o quadrado de um número só é par se o próprio número for par, não tem como fazer um fator 2 “surgir” quando você multiplica um número por ele mesmo. Então $ p$ é par, e, como todo bom número par, é o dobro de alguém. Vamos chamar esse alguém de $ k$, então $ p=2k$. E se $ p^2 = 2q^2$, podemos substituir esse $ p$ por $ 2k$ e escrever $ (2k)^2=2q^2\implies 4k^2=2q^2\implies 2k^2=q^2$. De novo, sem surpresas, eu apliquei o quadrado nos dois caras da esquerda, percebi que podia dividir os dois lados da equação por dois e o fiz. Então eu provo que $ q^2$ é o dobro de alguém, o tal do $ k^2$, e, com isso, é par, o que faz o próprio $ q$ ser par também. Moral da história, se $ \frac{p^2}{q^2} = 2$, então tanto $ p$ quanto $ q$ são pares.

Contudo, eu havia suposto que $ p$ e $ q$ não possuíam divisores em comum! E acabo de provar que ambos são pares, então eles possuem um divisor em comum. Ora, posso dividir ambos por dois que a fração $ \frac{p}{q}$ ainda terá dois como quadrado, mas eu posso repetir o raciocínio acima e novamente provar que eles ainda são pares, então posso dividir de novo por dois e, aplicando o raciocínio acima, provar que ainda são pares! Ora, nenhum número é infinitamente par, está na cara que caímos em contradição nesse raciocínio e isso prova que nossa hipótese inicial é falha, pois ela nos conduz a um absurdo, que é um número infinitamente par. A verdadeira moral da história é: não existem números $ p$ e $ q$ tais que $ \frac{p^2}{q^2} = 2$.

E isso prova de maneira definitiva que a diagonal do quadrado é um alienígena no mundo da matemática grega, um número que não pode ser colocado como razão entre dois outros e, nessa medida, justamente chamado de irracional. A existência de tais números foi mantida em segredo por um bom tempo, poucos queriam seguir o exemplo de Hipaso. Hoje, não apenas sabemos que eles estão por toda parte, mas que a maior parte dos números reais é, de fato, de número irracionais. Em outras palavras, se você tirar um número real ao acaso, a chance é zero de tirar um que pode ser colocado em forma de fração, mas uma definição com mais cuidado disso tudo levaria a outro post, mas um indício pode ser encontrado em um outro, mais antigo, sobre os infinitos, onde vocês podem comprovar que, se as frações entram em uma fila, o raiz de dois, este incompreendido, não entra em fila nenhuma.

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