A cada quatro anos, no congresso internacional de matemática, são anunciados os ganhadores do que é considerado o maior prêmio da matemática, a medalha Fields. É um prêmio especial, entregue só a matemáticos de menos de quarenta anos, extremamente prestigioso e justo. Esse ano houve algo diferente, pois um dos ganhadores, Artur Ávila, é brasileiro.

Somos perto de duzentos milhões de habitantes, não temos um prêmio nobel de ciência. As razões são muitas e não cabem aqui, nem as conheço todas e o debate é bom e interessante, mas fica para outro dia. No caso da física, eu asseguro; se algum brasileiro ganhar um nobel no curto prazo, pouco ou nada de sua pesquisa terá sido no Brasil. São comuns casos de cientistas cuja formação é toda feita em outro país e, ao receber um prêmio, seu país natal comemora como final de Copa do Mundo. Não sou contra, é uma pequena hipocrisia que pode gerar um interesse na área e pode estimular talentos mais jovens, mas não é realidade. Com Artur Ávila, no entanto, não é o caso; Ávila é brasileiro com formação brasileira que trabalha no Brasil. Isso diz muito sobre a matemática no Brasil, sobre o IMPA (instituto em que o Ávila trabalha) e merece todo o elogio e admiração que esse pobre blog pode emitir.

Mas você não veio aqui para ler sobre o Ávila, isso você vai encontrar na Folha, no G1 ou um portal de notícias. Vou tentar explicar um pouco a base da pesquisa do Ávila, que é a teoria de sistemas dinâmicos. Não se anime, ainda com esse post você não vai conseguir ler um artigo do Ávila, eu mesmo os leio como alguém que acabou de fazer seu primeiro semestre de curso de inglês lê Shakespeare, devagar, sofrido e consultando o dicionário a cada linha.

Não que seu texto seja arcano ou confuso, pelo contrário, matemática boa é reconhecida pela clareza e precisão. O problema é falta de base e de hábito. Matemática é uma área do conhecimento extremamente vertical, temos que passar pelo térreo, primeiro, segundo e todos os andares seguintes para chegarmos ao topo. O que vou apresentar aqui é o térreo dos sistemas dinâmicos, e talvez uma parte da área de serviço.

Um sistema dinâmico é uma regra que associa estados passados a estados futuros. Lembra-se daqueles desafios lógicos em que você tem uma sequência de números e tem que descobrir a regra que os gera, para descobrir o próximo? Algo como 1, 1, 2, 3, 5 e você deve adivinhar que o próximo é 8. Neste caso, temos a regra $x_{n+1} = x_{n}+x_{n-1}$, chamada regra de Fibonacci. Uma regra associando estados passados (o $x_{n}$ e o $x_{n-1}$, que são o estado anterior e o antes do anterior) a estados futuros ($x_{n+1}$), pois podemos continuar para obter todos os seguintes. Claro que não estamos restritos a isso, podemos definir muitas regras e até estabelecer regras em espaços que não são discretos e bonitinhos como o do exemplo.

Com isso, dá para perceber que muita coisa é um sistema dinâmico. A grande exigência é que a regra deve ser determinística, ou seja, começando em um ponto o sistema deve caminhar em uma direção específica. Se voltar ao ponto de partida, o sistema deve percorrer percorrer o mesmo caminho, ou efetuar uma órbita, como gostamos de chamar.

Ávila se aprofundou em fenômenos que envolvem fractalidade, caos e outras coisas um pouco mais complicadas. Um exemplo interessante dos dois primeiros em sistemas dinâmicos é a equação logística, algo de definição bem simples e resultados complicados. Assim como nós antes tínhamos uma sequência definida com a regra de Fibonacci, vamos pensar em outra regra: $x_{n+1} = r.x_n(1-x_n)$, onde $r$ é um número entre 1 e 4. Parece simples, e nem parece muito diferente da outra, mas dependendo do valor de $r$ você vai descobrir que essa a sequência gerada sai do controle rapidamente.

Vejamos o que acontece quando começamos no valor $x_0=0,\! 1$ e com $r=1,\! 2$. Primeiro calculamos o próximo passo: $x_1 = r.x_0(1-x_0)$ $=1,\! 2.0,\! 1(1-0,\! 1) = 0,\! 108$. Para calcular o próximo passo, continuamos com a regra: $x_2=r.x_1(1-x_1)$ $=1,\! 2.0,\! 108(1-0,\! 108)= 0,\! 1156032$. Não vou escrever linha por linha, mas um gráfico revela o futuro dessa conta, ela converge para um valor específico.

Com esse gráfico você pode achar que esse sistema é tranquilo, que outros valores vão também convergir, que tudo caminha para um valor bonito e estável. Nada podia estar mais longe da verdade. Veja o que acontece quando trocamos $r$ por $3,\! 1$.

Com esse valor de $r$, o sistema não converge para um valor, mas para dois valores. Esse comportamento não é lá muito normal, mas piora, veja o que acontece quando colocamos $r=3,\! 5$.

Nesse caso, o sistema converge para quatro valores. Conforme aumentamos o valor de $r$, o sistema fica cada vez mais instável e converge para cada vez mais valores diferentes. Chega um ponto que podemos nos perguntar: converge mesmo? Não seriam tantos valores que a própria noção de convergência já perde o sentido?

Esse sistema dinâmico converge para um valor apenas quando $r$ está entre 1 e 3. Para um $r$ entre 3 e 3,45, ele converge para dois. Quando $r$ está entre 3,45 e 3,544, o valor de $x_n$ pipoca entre quatro possibilidades e entre 3.54 e 3.56 teremos oito possibilidades. Não apenas esses valores aumentam exponencialmente, o intervalo de $r$ em que eles acontecem fica cada vez menor. Refletido a respeito, o primeiro intervalo é quase cinco vezes maior que o segundo, enquanto o segundo também é quase cinco vezes maior que o terceiro. Essa relação entre os intervalos, se fizermos uma sequência com ela, converge para um valor, chamado constante de Feigenbaum. Quando chegamos a $r=3,7$, na verdade bem antes disso, torna-se completamente impossível prever os valores desses sistema. O único jeito de obter o valor na centésima iteração é calcular todas as noventa e nove anteriores. Veja como fica nosso gráfico para $r=3,7$.

E talvez nisso surja uma das perguntas mais interessantes de caos, fractalidade e sistemas dinâmicos: como pode uma regra tão simples gerar um resultado tão complicado e imprevisível? Como pode tanta complexidade emergir de uma única lei? O caráter matemático dessas perguntas é profundo, e as implicações são maiores do que imaginamos olhando pela primeira vez.

Escolhi esse exemplo porque ele é muito próximo do trabalho de alguns físicos, complexidade é algo onipresente na natureza e na realidade. Não gosto de partir para o esoterismo, mas não são poucos os cientistas que estudam sistemas caóticos, como a equação logística, para tentar responder questões sobre livre-arbítrio e consciência. O argumento de “se somos apenas átomos, está tudo definido e não temos escolha” não precisa nem da mecânica quântica para ser extinto, a equação logística cuida dele. Fenômenos simples podem gerar complexidade o suficiente para que a previsibilidade seja destruída; determinístico não é determinado e, como vemos acima, para todos os efeitos de medida, se a equação logística fosse uma pessoa ela pareceria ter bastante livre arbítrio sobre o próximo valor da sequência.

Ávila fez contribuições fundamentais para o estudo de sistemas dinâmicos reais e complexos, uni e multidimensionais, discretos e contínuos. Nos sistemas dinâmicos unidimensionais, Ávila praticamente “terminou” o assunto, após seu último artigo no tema poderiam passar os créditos e baixar a cortina. Estudando profundamente o caráter matemático de objetos pontudos como a equação logística, Ávila nos aproximou um pouco mais do que há por detrás da cortina da complexidade. Domando o caos, Ávila mereceu e ganhou o mais alto prêmio que um cientista brasileiro já conquistou. Que abra caminho para os próximos, que seja o primeiro de muitos, que, como na equação logística, o intervalo entre a primeira dessas e a próxima seja bem menor que o tempo que a primeira demorou para chegar.