Um de meus teoremas favoritos, e talvez um dos mais úteis que conheço, é o de Cauchy-Lipchitz. Não só sua demonstração é extremamente divertida, e pode ser vista entre as páginas 23 e 26 deste texto, ele é extremamente poderoso e dá-nos a segurança de afirmar existência e unicidade da solução de diversas equações diferenciais.

Teorema (de Cauchy-Lipschitz). Seja $f=f(y(x),x)$ uma função contínua em $x$ e localmente lipschitziana em $y$ no ponto $y_0$. Seja $y(x_0) = y_0$. Então existe um intervalo $[x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon]$ tal que a equação diferencial

\[\frac{dy(x)}{dx}=f(y(x),x)\]

possui solução única.

Esse teorema é bem forte, já que as condições não são tão exigentes. Todas as funções elementares são contínuas nos pontos de seu domínio, e a condição de localmente lipschitziana, um pouco mais forte, também não é difícil de obter, basta ter uma primeira derivada que não divirja em um dado ponto que a função já é localmente lipschitziana naquele ponto. Em uma explicação grosseira, essa propriedade é o equivalente a exigir um “crescimento controlado” da função, naturalmente funções cujas derivadas primeiras divergem não são nada controladas.

E para provar que toda função contínua cuja primeira derivada não diverge é localmente lipschitziana basta escrever o teorema do valor médio e perceber que ele é exatamente a definição de uma função localmente lipschitziana.

Mas esse post não é sobre resultados da análise real, que são interessantes, mas sobre o problema do funil, conhecido também como clepsidra. Nele, tentamos estudar a velocidade com que a água desce um funil. Chamamos a velocidade no topo da coluna de água $v_A$, sua velocidade na saída de $v_B$, e as superfícies do topo e da saída de $S_A$ e $S_B$ respectivamente. Orientamos a altura no sentido evidente, com a origem na base do funil.

Podemos usar a equação de Bernoulli entre os extremos da água:

\[ \frac{1}{2}\rho v_A^2+\rho gh=\frac{1}{2}\rho v_b^2\]

\[v_A^2=2\left(1-\frac{S_B^2}{S_A^2}\right) gh=2\alpha gh.\]

Notem que eu também usei a equação da conservação da massa, em que $S_Av_A=S_Bv_B$, para isolar a velocidade em A. No final, temos uma equação que relaciona a altura da coluna de água com a sua velocidade:

\[ \frac{dh(t)}{dt}=\sqrt{2\alpha gh}.\]

Para obter uma solução, precisamos de uma condição inicial. E eis o nosso problema. Eu posso dar diversas condições iniciais, valores de $h(t)$, que equivalem à altura da água no instante inicial, mas uma delas, em particular, me incomodará muito: $h(0)=0$. A função $ \sqrt{x}$ não é localmente lipschitziana em zero (notem que a derivada explode, mas a explosão da derivada é apenas condição suficiente, eu teria que provar com mais calma), o teorema de Cauchy-Lipschitz não se aplica a ela se a condição inicial for dada com $h$ valendo zero!

O que é completamente esperado, pois, se eu te contar que agora o funil está vazio ($ h(0)=0$), você não pode me dizer nada sobre a história do funil (obter $h(t)$). Ele pode ter esvaziado há dez segundos (ou seja, $h(-11)$ seria diferente de zero), há três minutos, há horas, dias, pode nunca ter sido cheio (solução $h\equiv 0$); a perda da condição de localmente lipschitziana nos tira a unicidade da solução, e isso é completamente esperado: saber que o funil está vazio nada nos diz sobre quando ele esvaziou!

E essa aplicação curta, bela e tremendamente real do teorema de Cauchy-Lipscitz o torna um de meus favoritos das equações diferenciais, sendo ele já um dos mais úteis. Ao encontrar uma dessas, não hesite, veja a primeira derivada, veja a continuidade, e respire aliviado. Alguma solução existe, e é única. Isso, a um matemático, já é ter a equação quase completamente resolvida, o resto são detalhes.