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Artur Ávila, o domador do caos

Rookie

A cada quatro anos, no congresso internacional de matemática, são anunciados os ganhadores do que é considerado o maior prêmio da matemática, a medalha Fields. É um prêmio especial, entregue só a matemáticos de menos de quarenta anos, extremamente prestigioso e justo. Esse ano houve algo diferente, pois um dos ganhadores, Artur Ávila, é brasileiro.

Somos perto de duzentos milhões de habitantes, não temos um prêmio nobel de ciência. As razões são muitas e não cabem aqui, nem as conheço todas e o debate é bom e interessante, mas fica para outro dia. No caso da física, eu asseguro; se algum brasileiro ganhar um nobel no curto prazo, pouco ou nada de sua pesquisa terá sido no Brasil. São comuns casos de cientistas cuja formação é toda feita em outro país e, ao receber um prêmio, seu país natal comemora como final de Copa do Mundo. Não sou contra, é uma pequena hipocrisia que pode gerar um interesse na área e pode estimular talentos mais jovens, mas não é realidade. Com Artur Ávila, no entanto, não é o caso; Ávila é brasileiro com formação brasileira que trabalha no Brasil. Isso diz muito sobre a matemática no Brasil, sobre o IMPA (instituto em que o Ávila trabalha) e merece todo o elogio e admiração que esse pobre blog pode emitir.

Mas você não veio aqui para ler sobre o Ávila, isso você vai encontrar na Folha, no G1 ou um portal de notícias. Vou tentar explicar um pouco a base da pesquisa do Ávila, que é a teoria de sistemas dinâmicos. Não se anime, ainda com esse post você não vai conseguir ler um artigo do Ávila, eu mesmo os leio como alguém que acabou de fazer seu primeiro semestre de curso de inglês lê Shakespeare, devagar, sofrido e consultando o dicionário a cada linha.

Não que seu texto seja arcano ou confuso, pelo contrário, matemática boa é reconhecida pela clareza e precisão. O problema é falta de base e de hábito. Matemática é uma área do conhecimento extremamente vertical, temos que passar pelo térreo, primeiro, segundo e todos os andares seguintes para chegarmos ao topo. O que vou apresentar aqui é o térreo dos sistemas dinâmicos, e talvez uma parte da área de serviço.

Um sistema dinâmico é uma regra que associa estados passados a estados futuros. Lembra-se daqueles desafios lógicos em que você tem uma sequência de números e tem que descobrir a regra que os gera, para descobrir o próximo? Algo como 1, 1, 2, 3, 5 e você deve adivinhar que o próximo é 8. Neste caso, temos a regra $x_{n+1} = x_{n}+x_{n-1}$, chamada regra de Fibonacci. Uma regra associando estados passados (o $x_{n}$ e o $x_{n-1}$, que são o estado anterior e o antes do anterior) a estados futuros ($x_{n+1}$), pois podemos continuar para obter todos os seguintes. Claro que não estamos restritos a isso, podemos definir muitas regras e até estabelecer regras em espaços que não são discretos e bonitinhos como o do exemplo.

Com isso, dá para perceber que muita coisa é um sistema dinâmico. A grande exigência é que a regra deve ser determinística, ou seja, começando em um ponto o sistema deve caminhar em uma direção específica. Se voltar ao ponto de partida, o sistema deve percorrer percorrer o mesmo caminho, ou efetuar uma órbita, como gostamos de chamar.

Ávila se aprofundou em fenômenos que envolvem fractalidade, caos e outras coisas um pouco mais complicadas. Um exemplo interessante dos dois primeiros em sistemas dinâmicos é a equação logística, algo de definição bem simples e resultados complicados. Assim como nós antes tínhamos uma sequência definida com a regra de Fibonacci, vamos pensar em outra regra: $x_{n+1} = r.x_n(1-x_n)$, onde $r$ é um número entre 1 e 4. Parece simples, e nem parece muito diferente da outra, mas dependendo do valor de $r$ você vai descobrir que essa a sequência gerada sai do controle rapidamente.

Vejamos o que acontece quando começamos no valor $x_0=0,\! 1$ e com $r=1,\! 2$. Primeiro calculamos o próximo passo: $x_1 = r.x_0(1-x_0)$ $=1,\! 2.0,\! 1(1-0,\! 1) = 0,\! 108$. Para calcular o próximo passo, continuamos com a regra: $x_2=r.x_1(1-x_1)$ $=1,\! 2.0,\! 108(1-0,\! 108)= 0,\! 1156032$. Não vou escrever linha por linha, mas um gráfico revela o futuro dessa conta, ela converge para um valor específico.

avila_1Com esse gráfico você pode achar que esse sistema é tranquilo, que outros valores vão também convergir, que tudo caminha para um valor bonito e estável. Nada podia estar mais longe da verdade. Veja o que acontece quando trocamos $r$ por $3,\! 1$.

avila_2Com esse valor de $r$, o sistema não converge para um valor, mas para dois valores. Esse comportamento não é lá muito normal, mas piora, veja o que acontece quando colocamos $r=3,\! 5$.

avila_3Nesse caso, o sistema converge para quatro valores. Conforme aumentamos o valor de $r$, o sistema fica cada vez mais instável e converge para cada vez mais valores diferentes. Chega um ponto que podemos nos perguntar: converge mesmo? Não seriam tantos valores que a própria noção de convergência já perde o sentido?

Esse sistema dinâmico converge para um valor apenas quando $r$ está entre 1 e 3. Para um $r$ entre 3 e 3,45, ele converge para dois. Quando $r$ está entre 3,45 e 3,544, o valor de $x_n$ pipoca entre quatro possibilidades e entre 3.54 e 3.56 teremos oito possibilidades. Não apenas esses valores aumentam exponencialmente, o intervalo de $r$ em que eles acontecem fica cada vez menor. Refletido a respeito, o primeiro intervalo é quase cinco vezes maior que o segundo, enquanto o segundo também é quase cinco vezes maior que o terceiro. Essa relação entre os intervalos, se fizermos uma sequência com ela, converge para um valor, chamado constante de Feigenbaum. Quando chegamos a $r=3,7$, na verdade bem antes disso, torna-se completamente impossível prever os valores desses sistema. O único jeito de obter o valor na centésima iteração é calcular todas as noventa e nove anteriores. Veja como fica nosso gráfico para $r=3,7$.

avila_4E talvez nisso surja uma das perguntas mais interessantes de caos, fractalidade e sistemas dinâmicos: como pode uma regra tão simples gerar um resultado tão complicado e imprevisível? Como pode tanta complexidade emergir de uma única lei? O caráter matemático dessas perguntas é profundo, e as implicações são maiores do que imaginamos olhando pela primeira vez.

Escolhi esse exemplo porque ele é muito próximo do trabalho de alguns físicos, complexidade é algo onipresente na natureza e na realidade. Não gosto de partir para o esoterismo, mas não são poucos os cientistas que estudam sistemas caóticos, como a equação logística, para tentar responder questões sobre livre-arbítrio e consciência. O argumento de “se somos apenas átomos, está tudo definido e não temos escolha” não precisa nem da mecânica quântica para ser extinto, a equação logística cuida dele. Fenômenos simples podem gerar complexidade o suficiente para que a previsibilidade seja destruída; determinístico não é determinado e, como vemos acima, para todos os efeitos de medida, se a equação logística fosse uma pessoa ela pareceria ter bastante livre arbítrio sobre o próximo valor da sequência.

Ávila fez contribuições fundamentais para o estudo de sistemas dinâmicos reais e complexos, uni e multidimensionais, discretos e contínuos. Nos sistemas dinâmicos unidimensionais, Ávila praticamente “terminou” o assunto, após seu último artigo no tema poderiam passar os créditos e baixar a cortina. Estudando profundamente o caráter matemático de objetos pontudos como a equação logística, Ávila nos aproximou um pouco mais do que há por detrás da cortina da complexidade. Domando o caos, Ávila mereceu e ganhou o mais alto prêmio que um cientista brasileiro já conquistou. Que abra caminho para os próximos, que seja o primeiro de muitos, que, como na equação logística, o intervalo entre a primeira dessas e a próxima seja bem menor que o tempo que a primeira demorou para chegar.

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Os limites da razão

Rookie

A natureza dificilmente gosta de ajudar o cientista. No ensino médio, aprendemos física em um mundo bem idealizado, sem atrito nas superfícies, sem resistência do ar e sem muito compromisso com a realidade. Todo professor de física ouve uma miríade de críticas a esse raciocínio, como se estivesse ensinando uma mentira, como se a realidade estivesse rindo da cara daqueles bloquinhos e polias, e muitas vezes está.

Não culpo o professor, este, se quisesse, poderia responder como Jack Nicholson a essa pergunta. Se um aluno reclama da incoerência do modelo com a realidade, que tente a realidade, vai voltar correndo a suas polias e bloquinhos. Porque a realidade é um monstro de complexidade e a física é feita de modelos: teorias que são tão boas quanto se propõem a ser. Ora, um cálculo de queda de objeto desprezando a resistência do ar funciona muito bem para quedas curtas, ou para objetos lançados na Lua, mas jamais se propôs a servir para lançar mísseis ou explicar o movimento de um paraquedista. Para esses fenômenos, você precisa de um modelo mais refinado, mais preciso; mas algo como um modelo exato não existe.

Como disse Weisskopf, modelos são como horários de trens na Áustria. Trens austríacos estão sempre atrasados. Um turista prussiano pergunta ao condutor austríaco por que eles se dão ao trabalho de imprimir essas tabelas, se os trens atrasam sempre. Ao que o condutor responde: “Se não as imprimíssemos, como saberíamos o quão atrasados eles estão?”.

E se você, com um ar levemente superior e arrogância não-desprezível, decidir criticar a ciência por “não saber nada exatamente”, eu pergunto: o que é saber algo exatamente? Eu posso descrever o movimento de minha cadeira, está parada, mas isso é apenas um modelo: há fótons bombardeando minha cadeira, interagindo com seus átomos, que por sua vez pulam, vibram, alguns até se soltam e voltam à cadeira, absorvem fótons, alguns até interagem com neutrinos de vez em quando, o wi-fi de minha casa atravessa a cadeira e interage com suas partículas, que também são bombardeadas pelas partículas de oxigênio e nitrogênio no ar. Essa cadeira, no nível atômico, é uma zona de guerra; descrever seu movimento, nesses termos, é um sonho tão distante quanto descrever o movimento de cada gota d’água em um tsunami. Se isso é saber algo, seriam necessários deuses para ensinar física ao ensino médio.

Nossos problemas não param por aí. Não somente realidade e modelos são coisas diferentes, muitas vezes nem nossos modelos ajudam. Ainda que tenhamos hipóteses bem otimistas, como a ausência da resistência do ar e do atrito, é terrivelmente fácil encontrar um sistema cuja solução é impossível aos mortais. E por impossível eu não digo “difícil” ou “eu não consigo porque sou moleque”, eu digo completamente impossível mesmo. Como exemplo, invoco o pêndulo duplo: uma bolinha presa por um fio em outra bolinha, presa por um fio em um ponto fixo. Algo com essa cara:

O problema desse sistema é: nem chorando você consegue prever o movimento dessas bolinhas. O sistema nada tem de aleatório, não há resistência do ar ou atrito, mas a relação entre as duas bolinhas, essa influência mútua causada pelo fio que as liga, torna o problema matematicamente tão complicado que ele toca as raias do impossível: não há homem sobre a terra capaz de escrever a coordenada $y$ de uma bolinha em função da $x$ para qualquer valor de tempo $t$.

O problema não é a física, você até conhece as equações desse problema. Lembra-se das leis de Newton?, pois bem, você consegue escrever o equivalente às leis de movimento das bolinhas. Essas leis, que são equações, se resolvidas, forneceriam a trajetória exata das bolinhas nesse modelo. O problema é: as equações não podem ser resolvidas exatamente, porque elas são equações muito difíceis.

Isso não nos impede, no entanto, de obter o movimento desse pêndulo estranho, basta explorar nosso amigo computador para isso. As equações são muito difíceis, impossíveis aos mortais no papel e caneta, mas o computador pode, na força bruta, calcular aos poucos cada instante dessa trajetória. Em cada momento, ele consegue estimar com bastante precisão onde o pêndulo estará no instante seguinte. Se esses instantes são bem próximos, a aproximação do computador é boa o suficiente para que o movimento seja descrito. Sentei essa tarde e escrevi um código para simular esse pêndulo, adaptando de outros que vi por aí, o resultado é algo perto disso:

E você também pode dizer que isso não é exato, essa nem é exatamente a resposta do modelo, e isso é verdade, em partes. Essas contas do computador são tão precisas quanto queremos que elas sejam, ora, basta você dizer o quão precisa você quer a conta que ele faz, vai apenas demorar mais ou menos tempo. Dessa maneira, esse pêndulo se movendo acima é preciso o suficiente para o que eu queria: um gif divertido que desse uma boa ideia do movimento do pêndulo.

O pêndulo duplo é um caso interessante por diversos motivos. Ele apresenta um fenômeno conhecido como caos, ou, na cultura popular, o efeito borboleta. Sistemas caóticos possuem definição matemática precisa e, como uma de suas características mais marcantes, possuem uma grande dependência de suas condições iniciais. No caso desse pêndulo duplo, dizemos que o lugar onde o pêndulo começa (no exemplo acima, a primeira bolinha forma um ângulo de 120º com a vertical, enquanto a segunda bolinha forma um ângulo de 10º com a vertical) influencia muito mais a trajetória do que você imagina.

Compare com um pêndulo simples, indo de um lado a outro. Sua trajetória são será tão diferente se você lançar o pêndulo de um ângulo de 10° ou se lançar de 9,9999°, você, aliás, terá problemas para dizer se são diferentes. No pêndulo duplo, a história é outra. Para me divertir, repeti a animação com dois pêndulos ao mesmo tempo, um azul, como o anterior (120° na primeira e 10° na segunda), e um vermelho, com as configurações levemente alteradas (120° na primeira e 9,9999º na segunda). Veja o que acontece depois de um tempo suficientemente grande:

O efeito borboleta é uma possível interpretação dessa propriedade de sistemas caóticos. 10° e 9,9999° são muito próximos, mas em dez segundos os pêndulos passam a ser completamente diferentes, é impossível dizer que eles já estiveram juntos. Analogamente, as equações da mecânica dos fluidos são também muito difíceis de resolver, e apresentam comportamento caótico. Nesse pequeno gif, você percebe a influência de uma variação de 0,0001° na posição inicial de uma das bolinhas. Para a meteorologia, podemos perguntar: pode o bater de asas de uma borboleta no Brasil causar um tornado no Texas?

A ciência não pretende apresentar modelos completos que descrevem a realidade em todas as camadas e fronteiras, isso não existe. Ela pretende, contudo, descrever o que pode, na precisão que consegue, melhorando sempre, compreendendo mais e criando modelos mais precisos, tendo como única juíza a realidade. A ciência busca chegar à verdade e, nessa jornada, nossos trens chegam atrasados, é verdade; mas garanto, não há outros disponíveis.

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