Para completar a trilogia dos posts sobre entropia (Abaixo de zero e Quantos times de futebol tem no Brasil?), preciso me explicar sobre o que disse anteriormente. Em meu primeiro post a respeito, mencionei a seguinte frase, falando sobre a mistura de dois estados:

“A entropia indica quão bem feita é essa mistura, sendo máxima quando todas as configurações do sistema, todas as combinações de bolinhas em cima e embaixo, são possíveis e igualmente prováveis, ou seja, desordem completa, não posso afirmar nada sobre o estado atual do sistema, ele pode ser qualquer coisa.“.

Essa frase causou estranheza em alguns, que comentaram como pode uma situação em que eu sei tanto sobre o sistema (que todas as configurações possíveis são igualmente prováveis) ser também aquela que maximiza minha ignorância sobre o sistema. Vou tentar explicar o que quis dizer com isso, através de um problema que me foi proposto no último karaokê a que fui.

Imagine-se diante de duas caixas. Ambas possuem bolas de bilhar em seu interior, pretas e vermelhas, e seu objetivo é colocar a mão na caixa e, sem olhar, tirar uma bola preta. A primeira caixa é aberta e mostram a você que ela possui exatamente a mesma quantidade de bolas pretas e brancas. A segunda caixa, contudo, está completamente fechada e coberta, não é possível saber absolutamente nada sobre ela. A pergunta é: qual caixa você escolhe para jogar o jogo em que o objetivo é tirar a bola preta?

Escolha de caixas para tirar bola preta.

Colocar essa pergunta e colher respostas é um interessante experimento sobre a aversão ao risco, uma característica inata dos seres humanos de preferirem o conhecido ao desconhecido, ainda que o conhecido não seja lá tão bom. A resposta convencional que recebo, e a que ouvi da maior parte de meus colegas naquela noite de cantoria de música brega, é escolher a caixa conhecida. Ainda, na minha vez de responder, não hesitei: as caixas são completamente equivalentes.

Apesar da certeza de ter 50% de chance de ganhar o jogo na caixa da direita, eu tenho que ser coerente com a teoria de probabilidades na escolha. Na ausência de qualquer outra informação, eu não tenho razão para supor que a caixa da esquerda vá me favorecer ou me prejudicar, a única alternativa honesta é assumir que essas duas probabilidades são iguais, em uma hipótese de que o universo não é nem bonzinho nem sacana comigo. A caixa da direita, ainda que eu tenha bastante informação sobre ela, é absolutamente equivalente à caixa desconhecida quando o que quero é tirar uma bola preta!

Mas isso precisa de mais explicação. Não basta dizer que na ausência de informação a configuração mais provável é de 50%-50%, assim como dizer que Deus pode existir e não existir, então a probabilidade de existência ou não do divino é de 50%-50%; ou, ainda, considerando as três maiores religiões monoteístas do mundo, a chance de cada uma delas estar certa é de um terço. Tais considerações são absurdas, mas para as bolas na caixa ela é correta, porque, diferentemente da teologia, eu posso definir o que chamamos de espaço amostral da caixa.

Sabemos que a caixa tem um tamanho finito. Assim, podemos encontrar apenas $N$ bolas na caixa. Ao colocarmos em uma tabela todas as configurações possíveis de proporções de cores de bolas na caixa, percebemos que o número de configurações em que as vermelhas são mais prováveis que as pretas é igual ao número de situações em que elas são menos prováveis. Neste caso o espaço amostral está muito bem definido (diferentemente de meus problemas com o divino), então eu devo, para seu intelectualmente honesto, dizer que todas são equiprováveis.

Isso explica o que disse no post sobre a entropia. Em um sistema de máxima entropia, onde todas as configurações possíveis são iguais, eu tenho a maior “ignorância” sobre o sistema. Essa ignorância não é relativa à proporção de bolas ou às probabilidades associadas aos estados, essas eu conheço bem, a ignorância está no fato de que, em máxima entropia, sei tanto sobre o estado que o sistema estará como se não soubesse nada a respeito dele. Nesse sentido, entropia máxima é ignorância máxima.

Eu certamente não extingui o assunto, entropia é um assunto complicado demais. Ainda, espero que com esses três posts você tenha avançado um pouco mais na compreensão desse conceito, nascido nas máquinas térmicas do século XIX, que descreve tanto o número de configurações possíveis quanto nossa ignorância sobre um sistema, passando pela definição de temperatura e pela importância de times de futebol Brasil afora.